函数y=√x(73x+64.x)的图像

本文主要介绍根式分式复合函数的定义域、值域、单调和凸凹性等性质，并通过导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间，画出y=√x(73x+64/x)的图像。

方法/步骤

1、※.函数的定义域

∵√x有x≥0；对64/x有x≠0.∴函数的定义域为：(0，+∞）。

2、※.函数的单调性

∵y=√x(73x+64/x)

=73x^(3/2)+64x^(-1/2),对x求导得：

∴dy/dx

=(3/2)*73x^(1/2)-(64/2)x^(-3/2)

=(1/2)x^(-3/2)(3*73x²-64).

令dy/dx=0,则x²=64/219.

又因为x>0，则x=(8/219)√219≈0.54.

(1)当x∈(0, (8/219)√219)时，dy/dx＜0,函数y为单调减函数；

(2)当x∈[(8/219)√219,+∞)时，dy/dx＞0,函数y为单调增函数。

3、※.函数的凸凹性

∵dy/dx=(1/2)x^(-3/2)(3*73x²-64)，

∴d^2y/dx^2

=-3/4*x^(-5/2)(3*73x²-64)+3*73x*x^(-3/2)

=-3/4*x^(-5/2)(3*73x²-64)+3*73x^(-1/2)

=-3/4x^(-5/2)(3*73x²-64-4*73x²)

=3/4x^(-5/2)(73x²+64)>0,则：

函数y在定义域上为凹函数。

4、※.函数的极限

Lim(x→0) √x(73x+64/x)=+∞

Lim(x→+∞) √x(73x+64/x)=+∞。

5、  二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f(x)的导数y’=f'(x)仍然是x的函数，则y’=f'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数。

6、综合以上函数的性质，函数的示意图如下：

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