极限法等计算√14909的近似值步骤

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式的近似值计算方法步骤。

方法/步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√14909=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√14884=122,

√14909=x,

√15129=123,用线性穿插得：

(14909-14884)/(15129-14909)=(x-122)/(123-x)

25(123-x)=220(x-122)

245x=29915

x=5983/49≈122.1020.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√14909-√14884=(14909-14884)/(2√14884)

√14909=√14884+25/(2*122)

√14909=122+25/244≈122.1025.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√14909=√(14884+25）

√14909=√[14884(1+25/14884）]

=122√(1+25/14884）

=122*[1+25/(2*14884)]

=122+25/244≈122.1025.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

5、对于本题，x=14909，x₀=14884,x-x₀=25,代入得：

√14909

≈√14884+(25/2)*14884^(-1/2)-(1/8)*25²*14884^(-3/2)

≈122+(25/2)*122⁻¹-(1/8)*25²*122⁻³

≈122+25/244-25²/(8*122³)

即：√14909≈122.1024。

6、结论拓展分析：

1.本次近似计算以保留四位小数为主，从精确度来看，精确度最高的是泰勒展开式法，其次是线性穿插法。

2.所求的某个数a的算术平方根，由于与a相邻有两个可开方数，一般在近似计算中选取与之最近的一个可开方数。

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