计算√8467的近似值

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式√8467的近似值计算方法步骤。

方法/步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√8467=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√8464=92,

√8467=x,

√8649=93,用线性穿插得：

(8467-8464)/(8649-8467)=(x-92)/(93-x)

3(93-x)=182(x-92)

185x=17023

x=17023/185≈92.0162.

2、 

※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√8467-√8464=(8467-8464)/(2√8464)

√8467=√8464+3/(2*92)

√8467=92+3/184≈92.0163.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√8467=√(8464+3）

√8467=√[8464(1+3/8464）]

=92√(1+3/8464）

=92*[1+3/(2*8464)]

=92+3/184≈92.0163.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

5、对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

对于本题，x=8467，x₀=8464,x-x₀=3,代入得：

√8467

≈√8464+(3/2)*8464^(-1/2)-(1/8)*3²*8464^(-3/2)

≈92+(3/2)*92⁻¹-(1/8)*3²*92⁻³

≈92+3/184-3²/(8*92³)

即：√8467≈92.0163。

6、结论拓展分析：

1.本次近似计算以保留四位小数为主，从精确度来看，精确度最高的是泰勒展开式法，其次是线性穿插法。

2.所求的某个数a的算术平方根，由于与a相邻有两个可开方数，一般在近似计算中选取与之最近的一个可开方数。

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