多种方法计算√11840的近似值步骤

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式的近似值计算方法步骤。

主要方法步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√11840=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√11664=108,

√11840=x,

√11881=109,用线性穿插得：

(11840-11664)/(11881-11840)=(x-108)/(109-x)

176(109-x)=41(x-108)

217x=23612

x=23612/217≈108.8111.

 五狠

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于冷购本题有：

√11840-√11664=(11840-11664)/(2√11664)

√11840=√11664+176/(2*108)

√11840=108+22/27≈108.8148.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√11840=√(11664+176）

√11840=√[11664(1+176/11664]

=108√(1+176/11664）

=108*[1+176/(2*11664)]

=108+22/27≈108.8148.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴关注诉f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

5、对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

对于本题，x=11840，x₀=11664,x-x₀=176,代入得：

√11840

≈√11664+(88/1)*11664^(-1/2)-(1/8)*176²*11664^(-3/2)

≈108+(88/1)*108⁻¹-(1/8)*176²*108⁻³

≈108+22/27-176²/(8*108³)

即：√11840≈108.8117。

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