函数y=√x(83x+59/x)的图像

本文主要介绍根式分式复合函数的定义域、值域、单调和凸凹性等性质，并通过导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间，画出y=√x(83x+59/x)的图像。

方法/步骤

1、※.函数的定义域

∵√x有x≥0；对59/x有x≠0.∴函数的定义域为：(0，+∞）。

2、设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A–B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。

3、※.函数的单调性

∵y=√x(83x+59/x)

=83x^(3/2)+59x^(-1/2),对x求导得：

∴dy/dx

=(3/2)*83x^(1/2)-(59/2)x^(-3/2)

=(1/2)x^(-3/2)(3*83x²-59).

令dy/dx=0,则x²=59/249.

又因为x>0，则x=(1/249)√14691≈0.49.

(1)当x∈(0, (1/249)√14691)时，dy/dx＜0,函数y为单调减函数；

(2)当x∈[(1/249)√14691,+∞)时，dy/dx＞0,函数y为单调增函数。

4、※.函数的凸凹性

∵dy/dx=(1/2)x^(-3/2)(3*83x²-59)，

∴d^2y/dx^2

=-3/4*x^(-5/2)(3*83x²-59)+3*83x*x^(-3/2)

=-3/4*x^(-5/2)(3*83x²-59)+3*83x^(-1/2)

=-3/4x^(-5/2)(3*83x²-59-4*83x²)

=3/4x^(-5/2)(83x²+59)>0,则：

函数y在定义域上为凹函数。

5、※.函数的极限

Lim(x→0) √x(83x+59/x)=+∞

Lim(x→+∞) √x(83x+59/x)=+∞。

6、综合以上函数的性质，函数的示意图如下：

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