函数49x^2+17y^2+52z^2=70的导数计算

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数49x^2+17y^2+52z^2=70的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵49x²+17y²+52z²=70,

∴98xdx+34ydy+104zdz=0，即：

52zdz=-49xdx-17ydy,

dz=-49xdx/52z-17ydy/52z，所以：

dz/dx=-49x/52z，dz/dy=-17y/52z。

2、直接求导法：

49x²+17y²+52z²=70,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

98x+0+104zdz/dx=0

52zdz/dx=-49x，即：dz/dx=-49x/52z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+34y+104zdz/dy=0

52zdz/dy=-17y，即：dz/dy=-17y/52z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=49x²+17y²+52z²-70，则：

Fz=104z，Fx=98x，Fy=34y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-98x/104z=-49x/52z;

dz/dy=-Fy/Fz=-34y/104z=-17y/52z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-49x/52z，

∴∂²z/∂²x=-49/52*(z+xdz/dx)/z²

=-49/52*(z+49x²/52z)/z²

=-49/2704*(52z²+49x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-17y/52z.

∴∂²z/∂²y=-17/52*(z+ydz/dy)/z²

=-17/52*(z+17y²/52z)/z²

=-17/2704*(52z²+17y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-49x/52z，dz/dy=-17y/52z.

∴∂²z/∂x∂y =49/52*(xdz/dy)/z²

=49/52*(-17xy/52z)/z²

=-833/2704*xy/z³.

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