函数54x^2+70y^2+30z^2=35的导数计算步骤

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数54x^2+70y^2+30z^2=35的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵54x²+70y²+30z²=35,

∴108xdx+140ydy+60zdz=0，即：

30zdz=-54xdx-70ydy,

dz=-9xdx/5z-7ydy/3z，所以：

dz/dx=-9x/5z，dz/dy=-7y/3z。

2、直接求导法：

54x²+70y²+30z²=35,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

108x+0+60zdz/dx=0

30zdz/dx=-54x，即：dz/dx=-9x/5z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+140y+60zdz/dy=0

30zdz/dy=-70y，即：dz/dy=-7y/3z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=54x²+70y²+30z²-35，则：

Fz=60z，Fx=108x，Fy=140y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-108x/60z=-9x/5z;

dz/dy=-Fy/Fz=-140y/60z=-7y/3z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-9x/5z，

∴∂²z/∂²x=-9/5*(z+xdz/dx)/z²

=-9/5*(z+9x²/5z)/z²

=-9/25*(5z²+9x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-7y/3z.

∴∂²z/∂²y=-7/3*(z+ydz/dy)/z²

=-7/3*(z+7y²/3z)/z²

=-7/9*(3z²+7y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-9x/5z，dz/dy=-7y/3z.

∴∂²z/∂x∂y =9/5*(xdz/dy)/z²

=9/5*(-7xy/3z)/z²

=-21/5*xy/z³.

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