函数56x^2+70y^2+38z^2=73的导数计算

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数56x^2+70y^2+38z^2=73的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵56x²+70y²+38z²=73,

∴112xdx+140ydy+76zdz=0，即：

38zdz=-56xdx-70ydy,

dz=-28xdx/19z-35ydy/19z，所以：

dz/dx=-28x/19z，dz/dy=-35y/19z。

2、直接求导法：

56x²+70y²+38z²=73,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

112x+0+76zdz/dx=0

38zdz/dx=-56x，即：dz/dx=-28x/19z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+140y+76zdz/dy=0

38zdz/dy=-70y，即：dz/dy=-35y/19z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=56x²+70y²+38z²-73，则：

Fz=76z，Fx=112x，Fy=140y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-112x/76z=-28x/19z;

dz/dy=-Fy/Fz=-140y/76z=-35y/19z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-28x/19z，

∴∂²z/∂²x=-28/19*(z+xdz/dx)/z²

=-28/19*(z+28x²/19z)/z²

=-28/361*(19z²+28x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-35y/19z.

∴∂²z/∂²y=-35/19*(z+ydz/dy)/z²

=-35/19*(z+35y²/19z)/z²

=-35/361*(19z²+35y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-28x/19z，dz/dy=-35y/19z.

∴∂²z/∂x∂y =28/19*(xdz/dy)/z²

=28/19*(-35xy/19z)/z²

=-980/361*xy/z³.

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