当a+34b=9时介绍多种方法计算ab最大值步骤

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在已知条件下的最大值。

方法/步骤

1、根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(9/34-1/34*a)

=-1/34*a^2+9/34*a

=-1/34(a-9/2)^2+81/136，

则当a=9/2时，ab有最大值为81/136。

2、设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

a+34b=9,

a+34p/a=9,

a^2-9a+34p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-136p≥0,即：

p≤81/136,

此时得ab=p的最大值=81/136。

3、将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由a+34b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设a=9(cost)^2，34b=9(sint)^2，则：

a=9(cost)^2,b=9/34(sint)^2,代入得：

ab=9(cost)^2*9/34(sint)^2,

=81/136*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=81/136。

4、设a=9/2+t,34b=9/2-t，则：

a=(9/2+t),b=(1/34)(9/2-t)

此时有：

ab=1/34*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/34*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤81/136,

则ab的最大值为81/136。

5、当a，b均为正数时，则：

∵a+34b≥2√34*ab,

∴(a+34b)^2≥136*ab,

81≥136*ab,

即：ab≤81/136,

则ab的最大值为81/136。

6、如图，设直线a+34b=9上的任意一点P(a0,b0),

op与x轴的夹角为θ，则：                 

a0+34b0=9,b0=a0tanθ,                

a0+34a0tanθ=9，得

a0=9/(1+34tanθ),                                

|a0*b0|=81*|tanθ|/(1+34tanθ)^2,

=81/[(1/|tanθ|)+68+1156|tanθ|]

≤81/(68+68)=81/136。

则ab的最大值=81/136.

7、设函数f(a,b)=ab-λ(a+34b-9),

则偏导数f’a=b-λ,f’b=a-34λ,

f’λ=a+34b-9。

令f’a=f’b=f’λ=0，则：

b=λ,a=34λ。进一步代入得：

34λ+34λ=9,即λ=9/68.

则有a=9/2,b=9/68.

ab的最大值=9/2*9/68=81/136。

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