三元函数46x^2+38y^2+60z^2=49的导数计算

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数46x^2+38y^2+60z^2=49的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵46x²+38y²+60z²=49,

∴92xdx+76ydy+120zdz=0，即：

60zdz=-46xdx-38ydy,

dz=-23xdx/30z-19ydy/30z，所以：

dz/dx=-23x/30z，dz/dy=-19y/30z。

2、直接求导法：

46x²+38y²+60z²=49,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

92x+0+120zdz/dx=0

60zdz/dx=-46x，即：dz/dx=-23x/30z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+76y+120zdz/dy=0

60zdz/dy=-38y，即：dz/dy=-19y/30z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=46x²+38y²+60z²-49，则：

Fz=120z，Fx=92x，Fy=76y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-92x/120z=-23x/30z;

dz/dy=-Fy/Fz=-76y/120z=-19y/30z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-23x/30z，

∴∂²z/∂²x=-23/30*(z+xdz/dx)/z²

=-23/30*(z+23x²/30z)/z²

=-23/900*(30z²+23x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-19y/30z.

∴∂²z/∂²y=-19/30*(z+ydz/dy)/z²

=-19/30*(z+19y²/30z)/z²

=-19/900*(30z²+19y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-23x/30z，dz/dy=-19y/30z.

∴∂²z/∂x∂y =23/30*(xdz/dy)/z²

=23/30*(-19xy/30z)/z²

=-437/900*xy/z³.

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