函数34x^2+48y^2+77z^2=28的导数计算过程

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数34x^2+48y^2+77z^2=28的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵34x²+48y²+77z²=28,

∴68xdx+96ydy+154zdz=0，即：

77zdz=-34xdx-48ydy,

dz=-34xdx/77z-48ydy/77z，所以：

dz/dx=-34x/77z，dz/dy=-48y/77z。

2、直接求导法：

34x²+48y²+77z²=28,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

68x+0+154zdz/dx=0

77zdz/dx=-34x，即：dz/dx=-34x/77z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+96y+154zdz/dy=0

77zdz/dy=-48y，即：dz/dy=-48y/77z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=34x²+48y²+77z²-28，则：

Fz=154z，Fx=68x，Fy=96y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-68x/154z=-34x/77z;

dz/dy=-Fy/Fz=-96y/154z=-48y/77z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-34x/77z，

∴∂²z/∂²x=-34/77*(z+xdz/dx)/z²

=-34/77*(z+34x²/77z)/z²

=-34/5929*(77z²+34x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-48y/77z.

∴∂²z/∂²y=-48/77*(z+ydz/dy)/z²

=-48/77*(z+48y²/77z)/z²

=-48/5929*(77z²+48y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-34x/77z，dz/dy=-48y/77z.

∴∂²z/∂x∂y =34/77*(xdz/dy)/z²

=34/77*(-48xy/77z)/z²

=-1632/5929*xy/z³.

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