函数69x^2+74y^2+72z^2=40的导数计算

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数69x^2+74y^2+72z^2=40的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵69x²+74y²+72z²=40,

∴138xdx+148ydy+144zdz=0，即：

72zdz=-69xdx-74ydy,

dz=-23xdx/24z-37ydy/36z，所以：

dz/dx=-23x/24z，dz/dy=-37y/36z。

2、直接求导法：

69x²+74y²+72z²=40,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

138x+0+144zdz/dx=0

72zdz/dx=-69x，即：dz/dx=-23x/24z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+148y+144zdz/dy=0

72zdz/dy=-74y，即：dz/dy=-37y/36z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=69x²+74y²+72z²-40，则：

Fz=144z，Fx=138x，Fy=148y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-138x/144z=-23x/24z;

dz/dy=-Fy/Fz=-148y/144z=-37y/36z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-23x/24z，

∴∂²z/∂²x=-23/24*(z+xdz/dx)/z²

=-23/24*(z+23x²/24z)/z²

=-23/576*(24z²+23x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-37y/36z.

∴∂²z/∂²y=-37/36*(z+ydz/dy)/z²

=-37/36*(z+37y²/36z)/z²

=-37/1296*(36z²+37y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-23x/24z，dz/dy=-37y/36z.

∴∂²z/∂x∂y =23/24*(xdz/dy)/z²

=23/24*(-37xy/36z)/z²

=-851/864*xy/z³.

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