函数7x^2+72y^2+21z^2=51的导数计算

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵7x²+72y²+21z²=51,

∴14xdx+144ydy+42zdz=0，即：

21zdz=-7xdx-72ydy,

dz=-xdx/3z-24ydy/7z，所以：

dz/dx=-x/3z，dz/dy=-24y/7z。

2、直接求导法：

7x²+72y²+21z²=51,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

14x+0+42zdz/dx=0

21zdz/dx=-7x，即：dz/dx=-1x/3z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+144y+42zdz/dy=0

21zdz/dy=-72y，即：dz/dy=-24y/7z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=7x²+72y²+21z²-51，则：

Fz=42z，Fx=14x，Fy=144y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-14x/42z=-x/3z;

dz/dy=-Fy/Fz=-144y/42z=-24y/7z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-x/3z，

∴∂²z/∂²x=-1/3*(z+xdz/dx)/z²

=-1/3*(z+x²/3z)/z²

=-1/9*(3z²+x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-24y/7z.

∴∂²z/∂²y=-24/7*(z+ydz/dy)/z²

=-24/7*(z+24y²/7z)/z²

=-24/49*(7z²+24y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-x/3z，dz/dy=-24y/7z.

∴∂²z/∂x∂y =1/3*(xdz/dy)/z²

=1/3*(-24xy/7z)/z²

=-8/7*xy/z³.

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