已知x^2+y^2=12计算(x-y)^2最大值步骤

已知x2+y2=12,介绍通过等式变换、三角换元、判别式法、中值替换等方法求(x-y)2的最大值的步骤。

方法/步骤

1、思路一：等式变换

因为(x-y)2=x2+y2-2xy

又：(x+y)2=x2+y2+2xy

所以两式相加得：

(x-y)2+(x+y)2=2(x2+y2),

等式变换得：

(x-y)2=2(x2+y2)-(x+y)2

即：(x-y)2=24-(x+y)2≤24,

则(x-y)2的最大值=24。

2、思路二：三角换元法

设x=2√3sint,y=2√3cost，则：

(x-y)2

=x2-2xy+y2

=(2√3sint)2+(2√3cost)2-2*2√3sint*2√3cost

=12-12sin2t

=12(1-sin2t)

即：

(x-y)2的最大值=12*[1-(-1)]=24。

3、思路三：判别式法

设x-y=t，则y=x-t,代入已知条件得：

x2+(x-t)2=12

x2+x2-2xt+t2-12=0

2×2-2xt+t2-12=0,

把方程看成x的二次方程，则：

判别式△=4t2-8(t2-12)≥0，即：

t2≤24，

故(x-y)2=t2的最大值=24。

4、思路四：中值替换法

设x2=6+t,y2=6-t,

代入所求代数式得：

(x-y)2的最大值

=x2-2xy+y2,当xy乘积为负数时，有最大值。

=6+t+2√[(6+t)(6-t)]+6-t

=12+2√[(36-t2)]

≥12+12=24。

5、思路五：不等式法

因为(x-y)2=x2-2xy+y2

=12-2xy.

当x，y异号时xy最小，则(x-y)2有最大值。

又因为:

x2+y2

=12≥2xy,

则2xy的最小值=-12。

所以(x-y)2的最大值=12-(-12)=24。

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