介绍七种方法计算已知2a+32b=9,求ab最大值步骤

      本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。

方法/步骤

1、主要内容：

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在2a+32b=9条件下的最大值。

主要公式：

1.(sina)^2+(cosa)^2=1。

2.ab≤(a+b)^2/2。

2、思路一：直接代入法

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(9/32-1/16*a)

=-1/16*a^2+9/32*a

=-1/16(a-9/4)^2+81/256，

则当a=9/4时，ab有最大值为81/256。

3、思路二：判别式法

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

2a+32b=9,

2a+32p/a=9,

2a^2-9a+32p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-256p≥0,即：

p≤81/256,

此时得ab=p的最大值=81/256。

4、思路三：三角换元法

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由2a+32b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设2a=9(cost)^2，32b=9(sint)^2，则：

a=(cost)^2,b=9/32(sint)^2,代入得：

ab=(cost)^2*9/32(sint)^2,

=81/256*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=81/256。

5、思路四：中值代换法

设2a=9/2+t,32b=9/2-t，则：

a=(1/2)(9/2+t),b=(1/32)(9/2-t)

此时有：

ab=1/64*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/64*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤81/256,

则ab的最大值为81/256。

6、思路五：不等式法

当a，b均为正数时，则：

∵2a+32b≥2√64*ab,

∴(2a+32b)^2≥256*ab,

81≥256*ab,

即：ab≤81/256,

则ab的最大值为81/256。

7、思路六：数形几何法

如图，设直线2a+32b=9上的任意一点P(a0,b0)

8、思路七:构造函数法

设函数f(a,b)=ab-λ(2a+32b-9),

则偏导数f’a=b-2λ,f’b=a-32λ,

f’λ=2a+32b-9。

令f’a=f’b=f’λ=0，则：

b=2λ,a=32λ。进一步代入得：

64λ+64λ=9,即λ=9/128.

则有a=9/4,b=9/64.

ab的最大值=9/4*9/64=81/256。

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