介绍通过正比例换元、中值换元、三角换元以及二次方程求根公式等方法,计算代数式(x+y)/(x-y)在x²-y²=6xy条件下具体值的步骤。
方法/步骤
1、思路一:正比例替换
设y=kx,代入已知条件有:
x²-(kx)²=6x*kx,
(1-k²)x²=6kx²,
1-k²=6k,则:
k²+6k-1=0,由求根根式有:
k=(-3±√10);
代数式=(x+kx)/(x-kx)=(1+k)/(1-k)
=(1±√10)/3。
2、
思路二:二次方程求根公式法
x²-y²=6xy,
y²+6xy-x²=0,将方程看成y的二次方程,
由求根公式有:
y=(-3±√10)x,代入代数式有:
代数式
=[x+(-3±√10)x]/[x-(-3±√10)x]
=(-2±√10)/(4∓√10)
=(1±√10)/3。
3、思路三:结论换元法
设(x+y)/(x-y)=k,则:
y=(k-1)x/(k+1),
又x²-y²=6xy,将y代入已知条件有:
x²-(k-1)²*x²/(k+1)²=6*x*(k-1)x/(k+1)
(k+1)²-(k-1)²=6(k²-1),
3k²-2k-3=0,
k=(1±√10)/3。
4、思路四:中值替换
设x+y=2m,x-y=2n,则x=m+n,y=m-n,
(m+n)²-(m-n)²=6*(m+n)(m-n)
2mm+2mn=6(m²-n²)
3m²-2mn-3n²=0,由二次方程求根公式有,
m=(1±√10)n/3。
则代数式=2m/2n
=m/n=(1±√10)/3。
5、思路五:三角换元法
设x=cost,y=sint,则:
(cost)²-(sint)²=6*costsint,
2cos2t=6sin2t,即tan2t=1/3,
由万能公式有:
tan2t=2tant/(1-tan²t)=1/3,即:
(tant)²+6tant-1=0,
tant=(3±√10)。
6、代数式
=(x+y)/(x-y)
=(cost+sint)/(cost-sint)
=(1+tant)/(1-tant)
=[1+(3±√10)]/[1-(3±√10)]
=(4±√10)/(-2∓√10)
=(1±√10)/3。
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