计算√11248的近似值步骤方法

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式的近似值计算方法步骤。

主要方法步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√11248=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√11236=106,

√11248=x,

√11449=107,用线性穿插得：

(11248-11236)/(11449-11248)=(x-106)/(107-x)

12(107-x)=201(x-106)

213x=22590

x=7530/71≈106.0563.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√11248-√11236=(11248-11236)/(2√11236)

√11248=√11236+12/(2*106)

√11248=106+3/53≈106.0566.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√11248=√(11236+12）

√11248=√[11236(1+12/11236）]

=106√(1+12/11236）

=106*[1+12/(2*11236)]

=106+3/53≈106.0566.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

5、对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

对于本题，x=11248，x₀=11236,x-x₀=12,代入得：

√11248

≈√11236+(6/1)*11236^(-1/2)-(1/8)*12²*11236^(-3/2)

≈106+(6/1)*106⁻¹-(1/8)*12²*106⁻³

≈106+3/53-12²/(8*106³)

即：√11248≈106.0566。

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