方程曲线y=e^(144x+197y)图像画法过程

    本经验通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性等，介绍函数y=e^(144x+197y)的图像的主要步骤。

方法/步骤

1、※.方程曲线的定义域

方程曲线表达式为y=e^(144x+197y),即y>0,取对数有：

lny=144x+197y，则：144x=lny-197y.

设144x=F(y)=lny-197y,把y看成自变量，求导得：

F'(y)=(1/y)-197=(1-197y)/y.

令F'(y)=0，则y=1/197≈0.005.

1)当0<y0;

2)当y>1/197时，F'(y)<0。

所以，当y=1/197时，F(y)有最大值，即：

144x≤F(y)max=-(1+ln197)

x≤-(1+ln197)/144≈-0.044.

即方程曲线的定义域为：(-∞，-0.044]。

2、※.方程曲线的单调性

对方程两边同时对x求导，得：

y=e^(144x+197y)

y’=e^(144x+197y)(144+197y＇)

y’=144e^(144x+197y)/[1-197e^(144x+197y)]

即：y’=144y/(1-197y).

导数y’的符号与(1-197y)的符号一致，方程曲线的单调性为：

(1).当y∈(0,1/197]时，y’＞0，此时方程y随x的增大而增大；

(2).当y∈(1/197,+∞）时，y’＜0，此时方程y随x的增大而减小。

3、  如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

4、※.方程曲线的凸凹性

∵y’=-144y/(197y-1)，

∴y”=-144[y'(197y-1)-197yy’]/(197y-1)²

=-144y’/(197y-1)²

=144²y/(1-197y)³，则y”的符号与(1-197y)的符号一致。

方程曲线的凸凹区间为：

(1)当y∈(0,1/197]时，y”＞0，此时方程曲线y为凹曲线;

(2)当y∈(1/197,+∞）时，y”＜0，此时方程曲线y为凸曲线。

5、如果一个函数f(x)在某个区间I上有f”(x)(即二阶导数)>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图像上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图像都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

6、※.函数的图像示意图

函数上部分点解析如下表所示，综合函数的单调性和凸凹性，并结合函数的定义域，即可画出函数的图像示意图。

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