用导数画函数y=√x(52x+71/x)的图像

本文主要介绍根式分式复合函数的定义域、值域、单调和凸凹性等性质，并通过导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间，画出y=√x(52x+71/x)的图像。

方法/步骤

1、※.函数的定义域

∵√x有x≥0；对71/x有x≠0.∴函数的定义域为：(0，+∞）。

2、函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围。换句话说，定义域是函数中x的允许值的集合。

3、※.函数的单调性

∵y=√x(44x+52/x)

=44x^(3/2)+52x^(-1/2),对x求导得：

∴dy/dx

=(3/2)*44x^(1/2)-(52/2)x^(-3/2)

=(1/2)x^(-3/2)(3*44x²-52).

令dy/dx=0,则x²=13/33.

又因为x>0，则x=(1/33)√429≈0.63.

(1)当x∈(0, (1/33)√429)时，dy/dx＜0,函数y为单调减函数；

(2)当x∈[(1/33)√429,+∞)时，dy/dx＞0,函数y为单调增函数。

4、※.函数的凸凹性

∵dy/dx=(1/2)x^(-3/2)(3*44x²-52)，

∴d^2y/dx^2

=-3/4*x^(-5/2)(3*44x²-52)+3*44x*x^(-3/2)

=-3/4*x^(-5/2)(3*44x²-52)+3*44x^(-1/2)

=-3/4x^(-5/2)(3*44x²-52-4*44x²)

=3/4x^(-5/2)(44x²+52)>0,则：

函数y在定义域上为凹函数。

5、如果一个函数f(x)在某个区间I上有f”(x)(即二阶导数)>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图像上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图像都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

6、※.函数的极限

Lim(x→0) √x(44x+52/x)=+∞

Lim(x→+∞) √x(44x+52/x)=+∞。

7、综合以上函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，函数的示意图如下：

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