本文主要介绍函数的定义域、单调性、凸凹性以及函数的极限的性质。
方法/步骤
1、※.函数的定义域
根据根式和分式定义要求有：
(3x+1)/(3x-2)≥0且3x-2≠0；
即：-∞＜x≤-1/3，2/3＜x≤+∞，
则函数的定义域为：(-∞，-1/3]，(2/3，+∞）。
2、※.函数的单调性
∵y=√(3x+1)/(3x-2),
∴y’=(1/2)*[(3x+1)/(3x-2)]-1/2*
[3(3x-2)-3(3x+1)]/(3x-2)2,即：
y’=(-1/2)*[(3x+1)/(3x-2)]-1/2*9/(3x-2)2,
y’=-9/2*[(3x+1)/(3x-2)3]-1/2<0，
则函数y在定义域上为减函数。
3、※.函数的凸凹性
∵y’=-9/2*[(3x+1)/(3x-2)3]-1/2，
∴y”=-9/4*[(3x+1)/(3x-2)3]-3/2*
[3(3x-2)3-9(3x+1)(3x-2)2]/(3x-2)6,
即y”=-9/4*[(3x+1)/(3x-2)3]-3/2*
[3(3x-2)-9(3x+1)]/(3x-2)4,
=9/4*[(3x+1)/(3x-2)3]-3/2*(18x+15)/(3x-2)4,
4、令y”=0，则18x+15=0，即x=-5/6.
则函数的凸凹性即凸凹区间如下：
(1).当x∈(-∞，-5/6]时，y”≤0，
此时函数y为凸函数；
(2).当x∈(-5/6,-1/3]，(2/3，+∞）时，
y”≥0，此时函数y为凹函数。
5、※.函数的极限
lim(x→2/3) √(3x+1)/(3x-2)=+∞；
lim(x→-1/3) √(3x+1)/(3x-2)=0；
lim(x→-∞) √(3x+1)/(3x-2)=1；
lim(x→+∞) √(3x+1)/(3x-2)=1.
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