计算√10496的近似值步骤

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式的近似值计算方法步骤。

主要方法步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√10469=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√10404=102,

√10469=x,

√10609=103,用线性穿插得：

(10469-10404)/(10609-10469)=(x-102)/(103-x)

65(103-x)=140(x-102)

205x=20975

x=4195/41≈102.3171.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√10469-√10404=(10469-10404)/(2√10404)

√10469=√10404+65/(2*102)

√10469=102+65/204≈102.3186.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√10469=√(10404+65）

√10469=√[10404(1+65/10404）]

=102√(1+65/10404）

=102*[1+65/(2*10404)]

=102+65/204≈102.3186.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

5、对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

对于本题，x=10469，x₀=10404,x-x₀=65,代入得：

√10469

≈√10404+(65/2)*10404^(-1/2)-(1/8)*65²*10404^(-3/2)

≈102+(65/2)*102⁻¹-(1/8)*65²*102⁻³

≈102+65/204-65²/(8*102³)

即：√10469≈102.3181。

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