求I=∫51x^3/√(51-10x^2)dx不定积分的步骤

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分I=∫51x^3/√(51-10x^2)dx的计算步骤。

方法/步骤

1、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(51/10)[x(51-10x^2)-51x]dx/√(51-10x^2)

=-(51/10)∫x(51-10x^2)dx/√(51-10x^2)+ (2601/10)∫xdx/√(51-10x^2)

=-(51/10)∫x√(51-10x^2)dx-(2601/2)*1/10^2∫d(51-10x^2)/√(51-10x^2)

=-51*1/10^2∫√(51-10x^2)d(51-10x^2)- 2601*1/10^2√(51-10x^2)

=34 *1/10^2√(51-10x^2)^3-2601*1/10^2*√(51-10x^2)+c

2、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=51∫x^2*xdx/√(51-10x^2)

   =-(51/20)∫x^2d(51-10x^2)/√(51-10x^2)

   =-(51/20)∫x^2d√(51-10x^2)=-(51/20)x^2√(51-10x^2)+(51/20) ∫√(51-10x^2)dx^2

   =-(51/20)x^2√(51-10x^2)-(51/2)*1/10^2∫√(51-10x^2)d(51-10x^2)

   =-(51/20)x^2√(51-10x^2)-17*1/10^2√(51-10x^2)^3+c

3、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√(51/10)sint，则cost=(1/√51)√(51-10x^2),此时：

I=(2601/10)*√(51/10)∫sin^3td[√(51/10)sint]/√(51-51sin^2t),

=51*(51/10)^2∫sin^3tcostdt/√51*cost,

=(2601√51 /10^2)∫sin^3tdt,

4、=(2601√51 /10^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

=(2601√51 /10^2)∫sintdt-(2601√51 /10^2)∫sintcos^2 tdt

=-(2601√51 /10^2)cost+(2601√51 /10^2)∫cos^2tdcost=-(2601√51 /10^2)cost+(2601√51 /3*10^2)cos^3t+c

 =-(2601/10^2)√(51-10x^2)+17*(1/10^2)√(51-10x^2)^3+c. 

本文来自于百度作者：吉禄学阁，仅代表原作者个人观点。本站旨在传播优质文章，无商业用途。如不想在本站展示可联系删除