求I=∫5x^3/√(67-2x^2)dx不定积分的方程

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分的计算步骤。

方法/步骤

1、本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分I=∫5x^3/√(67-2x^2)dx的计算步骤。

2、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(5/2)[x(67-2x^2)-67x]dx/√(67-2x^2)

=-(5/2)∫x(67-2x^2)dx/√(67-2x^2)+ (335/2)∫xdx/√(67-2x^2)

=-(5/2)∫x√(67-2x^2)dx-(335/2)*1/2^2∫d(67-2x^2)/√(67-2x^2)

=-(5/1) *1/2^2∫√(67-2x^2)d(67-2x^2)- (335/1)*1/2^2√(67-2x^2)

=(10/3) *1/2^2√(67-2x^2)^3-(335/1) *1/2^2*√(67-2x^2)+c

3、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=5∫x^2*xdx/√(67-2x^2)

   =-(5/4)∫x^2d(67-2x^2)/√(67-2x^2)

   =-(5/4)∫x^2d√(67-2x^2)=-(5/4)x^2√(67-2x^2)+(5/4) ∫√(67-2x^2)dx^2

   =-(5/4)x^2√(67-2x^2)-(5/2)*1/2^2∫√(67-2x^2)d(67-2x^2)

   =-(5/4)x^2√(67-2x^2)-(5/3)*1/2^2√(67-2x^2)^3+c

4、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√(67/2)sint，则cost=(1/√67)√(67-2x^2),此时：

I=(335/2)*√(67/2)∫sin^3td[√(67/2)sint]/√(67-67sin^2t),

=5*(67/2)^2∫sin^3tcostdt/√67*cost,

=(335√67 /2^2)∫sin^3tdt,

=(335√67 /2^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

5、=(335√67 /2^2)∫sintdt-(335√67 /2^2)∫sintcos^2 tdt

=-(335√67 /2^2)cost+(335√67 /2^2)∫cos^2tdcost=-(335√67 /2^2)cost+(335√67 /3*2^2)cos^3t+c

 =-(335/2^2)√(67-2x^2)+(5/3)*(1/2^2)√(67-2x^2)^3+c.

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