多种方法求I=∫69x^3/√(29-9x^2)dx不定积分

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分的计算步骤。

方法/步骤

1、主要内容：本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分I=∫69x^3/√(29-9x^2)dx的计算步骤。

2、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(23/3)[x(29-9x^2)-29x]dx/√(29-9x^2)

=-(23/3)∫x(29-9x^2)dx/√(29-9x^2)+ (667/3)∫xdx/√(29-9x^2)

=-(23/3)∫x√(29-9x^2)dx-(2001/2)*1/9^2∫d(29-9x^2)/√(29-9x^2)

=-(69/1) *1/9^2∫√(29-9x^2)d(29-9x^2)- (2001/1)*1/9^2√(29-9x^2)

=(46/1) *1/9^2√(29-9x^2)^3-(2001/1) *1/9^2*√(29-9x^2)+c

3、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=69∫x^2*xdx/√(29-9x^2)

   =-(23/6)∫x^2d(29-9x^2)/√(29-9x^2)

   =-(23/6)∫x^2d√(29-9x^2)=-(23/6)x^2√(29-9x^2)+(23/6) ∫√(29-9x^2)dx^2

   =-(23/6)x^2√(29-9x^2)-(69/2)*1/9^2∫√(29-9x^2)d(29-9x^2)

   =-(23/6)x^2√(29-9x^2)-(23/1)*1/9^2√(29-9x^2)^3+c

4、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√(29/9)sint，则cost=(1/√29)√(29-9x^2),此时：

I=(2001/9)*√(29/9)∫sin^3td[√(29/9)sint]/√(29-29sin^2t),

=69*(29/9)^2∫sin^3tcostdt/√29*cost,

=(2001√29 /9^2)∫sin^3tdt,

5、=(2001√29 /9^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

=(2001√29 /9^2)∫sintdt-(2001√29 /9^2)∫sintcos^2 tdt

=-(2001√29 /9^2)cost+(2001√29 /9^2)∫cos^2tdcost=-(2001√29 /9^2)cost+(2001√29 /3*9^2)cos^3t+c

 =-(2001/9^2)√(29-9x^2)+(23/1)*(1/9^2)√(29-9x^2)^3+c. 

本文来自于百度作者：吉禄学阁，仅代表原作者个人观点。本站旨在传播优质文章，无商业用途。如不想在本站展示可联系删除