如何计算不定积分I=∫95x^3/√(79-53x^2)dx?

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分的计算步骤。

方法/步骤

1、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(95/53)[x(79-53x^2)-79x]dx/√(79-53x^2)

=-(95/53)∫x(79-53x^2)dx/√(79-53x^2)+ (7505/53)∫xdx/√(79-53x^2)

=-(95/53)∫x√(79-53x^2)dx-(7505/2)*1/53^2∫d(79-53x^2)/√(79-53x^2)

=-(95/1) *1/53^2∫√(79-53x^2)d(79-53x^2)- 7505*1/53^2√(79-53x^2)

=(190/3) *1/53^2√(79-53x^2)^3-7505*1/53^2*√(79-53x^2)+c

2、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=95∫x^2*xdx/√(79-53x^2)

   =-(95/106)∫x^2d(79-53x^2)/√(79-53x^2)

   =-(95/106)∫x^2d√(79-53x^2)=-(95/106)x^2√(79-53x^2)+(95/106) ∫√(79-53x^2)dx^2

   =-(95/106)x^2√(79-53x^2)-(95/2)*1/53^2∫√(79-53x^2)d(79-53x^2)

   =-(95/106)x^2√(79-53x^2)-(95/3)*1/53^2√(79-53x^2)^3+c

3、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√(79/53)sint，则cost=(1/√79)√(79-53x^2),此时：

I=(7505/53)*√(79/53)∫sin^3td[√(79/53)sint]/√(79-79sin^2t),

=95*(79/53)^2∫sin^3tcostdt/√79*cost,

=(7505√79 /53^2)∫sin^3tdt,

=(7505√79 /53^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

4、=(7505√79 /53^2)∫sintdt-(7505√79 /53^2)∫sintcos^2 tdt

=-(7505√79 /53^2)cost+(7505√79 /53^2)∫cos^2tdcost=-(7505√79 /53^2)cost+(7505√79 /3*53^2)cos^3t+c

 =-(7505/53^2)√(79-53x^2)+(95/3)*(1/53^2)√(79-53x^2)^3+c. 

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