I=∫88x^3/√(10-32x^2)dx不定积分计算

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分的计算步骤。

方法/步骤

1、主要内容：本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分I=∫88x^3/√(10-32x^2)dx的计算步骤。

2、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(11/4)[x(10-32x^2)-10x]dx/√(10-32x^2)

=-(11/4)∫x(10-32x^2)dx/√(10-32x^2)+ (55/2)∫xdx/√(10-32x^2)

=-(11/4)∫x√(10-32x^2)dx-(440/1)*1/32^2∫d(10-32x^2)/√(10-32x^2)

=-(44/1) *1/32^2∫√(10-32x^2)d(10-32x^2)- (880/1)*1/32^2√(10-32x^2)

=(88/3) *1/32^2√(10-32x^2)^3-(880/1) *1/32^2*√(10-32x^2)+c

3、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=88∫x^2*xdx/√(10-32x^2)

   =-(11/8)∫x^2d(10-32x^2)/√(10-32x^2)

   =-(11/8)∫x^2d√(10-32x^2)=-(11/8)x^2√(10-32x^2)+(11/8) ∫√(10-32x^2)dx^2

   =-(11/8)x^2√(10-32x^2)-(44/1)*1/32^2∫√(10-32x^2)d(10-32x^2)

   =-(11/8)x^2√(10-32x^2)-(88/3)*1/32^2√(10-32x^2)^3+c

4、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√(5/16)sint，则cost=(1/√10)√(10-32x^2),此时：

I=(880/32)*√(5/16)∫sin^3td[√(5/16)sint]/√(10-10sin^2t),

=88*(5/16)^2∫sin^3tcostdt/√10*cost,

=(880√10 /32^2)∫sin^3tdt,

5、=(880√10 /32^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

=(880√10 /32^2)∫sintdt-(880√10 /32^2)∫sintcos^2 tdt

=-(880√10 /32^2)cost+(880√10 /32^2)∫cos^2tdcost=-(880√10 /32^2)cost+(880√10 /3*32^2)cos^3t+c

 =-(880/32^2)√(10-32x^2)+(88/3)*(1/32^2)√(10-32x^2)^3+c.

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