求I=∫35x^3/√(63-13x^2)dx不定积分

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分的计算步骤。

方法/步骤

1、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(35/13)[x(63-13x^2)-63x]dx/√(63-13x^2)

=-(35/13)∫x(63-13x^2)dx/√(63-13x^2)+ (2205/13)∫xdx/√(63-13x^2)

=-(35/13)∫x√(63-13x^2)dx-(2205/2)*1/13^2∫d(63-13x^2)/√(63-13x^2)

=-(35/1) *1/13^2∫√(63-13x^2)d(63-13x^2)- (2205/1)*1/13^2√(63-13x^2)

=(70/3) *1/13^2√(63-13x^2)^3-(2205/1) *1/13^2*√(63-13x^2)+c

2、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=35∫x^2*xdx/√(63-13x^2)

   =-(35/26)∫x^2d(63-13x^2)/√(63-13x^2)

   =-(35/26)∫x^2d√(63-13x^2)=-(35/26)x^2√(63-13x^2)+(35/26) ∫√(63-13x^2)dx^2

   =-(35/26)x^2√(63-13x^2)-(35/2)*1/13^2∫√(63-13x^2)d(63-13x^2)

   =-(35/26)x^2√(63-13x^2)-(35/3)*1/13^2√(63-13x^2)^3+c

3、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√(63/13)sint，则cost=(1/√63)√(63-13x^2),此时：

I=(2205/13)*√(63/13)∫sin^3td[√(63/13)sint]/√(63-63sin^2t),

=35*(63/13)^2∫sin^3tcostdt/√63*cost,

=(2205√63 /13^2)∫sin^3tdt,

4、=(2205√63 /13^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

=(2205√63 /13^2)∫sintdt-(2205√63 /13^2)∫sintcos^2 tdt

=-(2205√63 /13^2)cost+(2205√63 /13^2)∫cos^2tdcost=-(2205√63 /13^2)cost+(2205√63 /3*13^2)cos^3t+c

 =-(2205/13^2)√(63-13x^2)+(35/3)*(1/13^2)√(63-13x^2)^3+c. 

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