计算方程83x²+27y²+43z²=36的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算椭球方程的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵83x²+27y²+43z²=36,

∴166xdx+54ydy+86zdz=0，即：

43zdz=-83xdx-27ydy,

dz=-83xdx/43z-27ydy/43z，所以：

dz/dx=-83x/43z，dz/dy=-27y/43z。

2、直接求导法：

83x²+27y²+43z²=36,

对方程方程两边同时对x求导，得：

166x+0+86zdz/dx=0

43zdz/dx=-83x，即：dz/dx=-83x/43z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+54y+86zdz/dy=0

43zdz/dy=-27y，即：dz/dy=-27y/43z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=83x²+27y²+43z²-36，则：

Fz=86z，Fx=166x，Fy=54y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-166x/86z=-83x/43z;

dz/dy=-Fy/Fz=-54y/86z=-27y/43z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-83x/43z，

∴∂²z/∂²x=-83/43*(z+xdz/dx)/z²

=-83/43*(z+83x²/43z)/z²

=-83/1849*(43z²+83x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-27y/43z.

∴∂²z/∂²y=-27/43*(z+ydz/dy)/z²

=-27/43*(z+27y²/43z)/z²

=-27/1849*(43z²+27y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-83x/43z，dz/dy=-27y/43z.

∴∂²z/∂x∂y =83/43*(xdz/dy)/z²

=83/43*(-27xy/43z)/z²

=-2241/1849*xy/z³.

本文来自于百度作者：吉禄学阁，仅代表原作者个人观点。本站旨在传播优质文章，无商业用途。如不想在本站展示可联系删除