方程28x²+14y²+36z²=39的一阶和二阶导数解析

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算椭球方程的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵28x²+14y²+36z²=39,

∴56xdx+28ydy+72zdz=0，即：

36zdz=-28xdx-14ydy,

dz=-7xdx/9z-7ydy/18z，所以：

dz/dx=-7x/9z，dz/dy=-7y/18z。

2、直接求导法：

28x²+14y²+36z²=39,

对方程方程两边同时对x求导，得：

56x+0+72zdz/dx=0

36zdz/dx=-28x，即：dz/dx=-7x/9z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+28y+72zdz/dy=0

36zdz/dy=-14y，即：dz/dy=-7y/18z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=28x²+14y²+36z²-39，则：

Fz=72z，Fx=56x，Fy=28y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-56x/72z=-7x/9z;

dz/dy=-Fy/Fz=-28y/72z=-7y/18z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-7x/9z，

∴∂²z/∂²x=-7/9*(z+xdz/dx)/z²

=-7/9*(z+7x²/9z)/z²

=-7/81*(9z²+7x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-7y/18z.

∴∂²z/∂²y=-7/18*(z+ydz/dy)/z²

=-7/18*(z+7y²/18z)/z²

=-7/324*(18z²+7y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-7x/9z，dz/dy=-7y/18z.

∴∂²z/∂x∂y =7/9*(xdz/dy)/z²

=7/9*(-7xy/18z)/z²

=-49/162*xy/z³.

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