计算3√2017的近似值

本文主要通过穿插法、微分法、导数法以及泰勒公式法，介绍计算三次根式3√2017近似值的主要步骤。

主要方法与步骤

1、设³√2017=x，并找与之最近的两个立方数，有：

³√1728=12,

³√2017=x,

³√2197=13,用线性穿插得：

(2017-1728)/(2197-2017)=(x-12)/(13-x)

289(13-x)=180(x-12)

469x=5917

x=5917/469≈12.6162.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=³√x，

∴dy=dx/(3*³√x²），

对于本题有：

³√2017-³√2197=(2017-2197)/(3*³√21972)

³√2017=³√2197-180/(3*132)

³√2017=13-60/169

≈12.6449.

3、※.极限法计算近似值

原理：当x趋近无穷小时，有(1±x)a≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

³√2017=³√(2197-180）

³√2017=³√[2197(1-180/2197）]

=13*³√(1-180/2197）

=13*[1-180/(3*2197)]

=13-60/169

≈12.6449.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x0)/0!+f'(x0)(x-x0)/1!+f”(x0)(x-x0)²/2!+O(x3)

∴f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f”(x0)(x-x0)²/2+O(x3)

其中O(x3)表示x的三次无穷小。

本题涉及幂函数y=f(x)=³√x,有：

f'(x)=(1/3)x-2/3,f”(x)=-(2/9)x-5/3。

即：

f(x)≈f(x0)+(1/3)x0-2/3*(x-x0)-(1/9)x0-5/3*(x-x0)²。

5、√2017

≈f(x0)+(1/3)x0-2/3*(x-x0)-(1/9)x0-5/3*(x-x0)²

≈³√2197+(1/3)2197-2/3*(2017-2197)-(1/9)2197-5/3*(2017-2197)²

≈³√2197+(1/9)2197-5/3*(2017-2197)(4*2197-2017)

≈13-180*6771/(9*135)。

即：

³√2017≈12.6352。

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