已知半圆直径为156两种方法求圆弦长AD的方法

       本文采用两种方法，一是利用角平分线、正弦定理与长度关系，二是利用角平分线、正弦定理与长度关系，介绍已知半圆的直径为AB，其长度为R=156，AC=136，AC是∠DAB的角平分线，求AD的长。

方法/步骤

1、已知半圆直径为156，AC是角平分线求线段AD长的两种方法

问题由来：

已知半圆的直径为AB，其长度为156，AC=136，AC是∠DAB的角平分线，求AD的长。

2、※.角度余弦值关系计算求解

[主要思路]：利用平分角a的余弦和其二倍角2a的余弦值关系来计算所求线段AD的长度。

设圆的半径为R，即R=AB/2=78,在△AOD中，AO=OD=R=78,

由余弦定理有：

 AD=2AM=2*Rcos2a=2*78cos2a=156cos2a…….(1)

3、在三角形AOC中，由余弦定理有：

AC=2*AN=2*Rcosa=156*cosa,

即：156cosa=136,

所以：cosa=34/39.

代入方程(1)中，有：

AD=156cos2a=156*(2cos ²a-1),

=156*[2*(34/39) ²-1],

=3164/39.

4、※.角平分线、正弦定理与长度关系来求解

[主要思路]：本步骤利用已知条件角平分线定理、正弦定理，并根据角a的余弦值，以及长度关系，来求解计算所求线段的长度。

5、 

如上图所示，设AD=x，OD与AC的交点为P，设DP=y，则OP=R-y，

即OP=78-y，在三角形△AOD中，AP是角平分线，由平分线定理可得：OP/PD=AO/AD,

则：(78-y)/y=R/x，化简为：

   x=78y/(78-y),……(1).

进一步由正弦定理可得：

   DP/sina=AD/sin∠APD,

即：y/sina=x/sin3a，化简为：y(3-4sin²a)=x,……(2),

在△AOC中，可求出cosa=34/39，

6、则：sin²a=365/1521……(3),

将(3)代入(2)可知：

y=1521x/3103,

再代入(1)可知：

   x=78*(1521x/3103)/[78-(1521x/3103)],

化简可得;

  1521x/3103=78 *1582/3103,

所以：x=3164/39.

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