三维不等式柯西定理应用举例详解A6

     本文介绍三维不等式柯西定理及其证明，并通过四个例子来详细说明该不等式的数学实际应用。

方法/步骤

1、三维不等式柯西定理：

(c₁²+c₂²+c₃²)(d₁²+d₂²+d₃²)≥(c₁d₁+c₂d₂+c₃d₃)²。

定理证明：

证明：

定义函数f(x)为:

f(x)=(c₁+d₁x)²+(c₂+d₂x)²,

将f(x)转化为二元函数的标准形式y=ax²+bx+c得

f(x)=(d₁²+d₂²)x²+2(c₁d₁+c₂d₂)x+(c₁²+c₂²)

因为f(x)≥0，所以它只有一个解或无解，即

Δ=4(c₁d₁+c₂d₂)²−4(d₁²+d₂²)(c₁²+c₂²)≤0

所以: (d₁²+d₂²)(c₁²+c₂²)≥(c₁d₁+c₂d₂)².

令函数f(x)=0，则每个平方项都必须为0，即

c₁+d₁x=0⇒x=−c₁/d₁,

c₂+d₂x=0⇒x=−c₂/d₂;

则要使函数有零点，即Δ=0,则必须有：

c₁/d₁=c₂/d₂,证毕。

2、※.若正数a,b,c,x,y,z满足a²+b²+c²=80,x²+y²+z²=95,求ax+by+cz的最小值。

解：直接使用上述柯西三维不等式有：

(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²,

代入数值即可得：

80*95≥(ax+by+cz)²,即：

(ax+by+cz)²≤7600,

由于所有变量均为正数，则：

ax+by+cz≤2√1900，

所以ax+by+cz的最小值为：2√1900.

3、※.若正数x,y,z满足x²+y²+z²=282,求x+y+z的最小值。

解：使用柯西三维不等式有：

(x²+y²+z²) (a²+b²+c²)≥(x+y+z)², 即：

(x²+y²+z²) (1²+1²+1²)≥(x+y+z)²，则：

282*3≥(x+y+z)²,进一步有：

(x+y+z)²≤846，

所以正数x+y+z的最小值=3√94。

4、※.若a+b+c=284,求400a²+25b²+81c²的最小值。

解：使用上述不等式，出现和的平方，即已知条件转换为不等式右边和的平方，则所求代数式需要变形成两个三项式平方和的乘积。

400a²+25b²+81c²=(20a)²+(5b)²+(9c)²

进一步变形为：

[(20a)²+(5b)²+(9c)²][(1/20)²+(1/5)²+(1/9)²]，

≥[(20a/20)+(5b /5)+(9c/9)]²，

=(a+b+c)²=284²，即：

(400a²+25b²+81c²)*(1777*5²/900²)≥284²，

所以：400a²+25b²+81c²≥(1/1777)*51120²。

5、※.若34x+30y+18z=196,求x²+y²+z²的最小值。

解：运用三维柯西不等式，有：

(x²+y²+z²)(34²+30²+18²)≥(34x+30y+18z)²,即：

(x²+y²+z²)(34²+30²+18²)≥196²,

(x²+y²+z²)*595*2²≥196²,

x²+y²+z²≥196²/(595*2²),

即：x²+y²+z²≥1372/85,

所以x²+y²+z²的最小值=1372/85。

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