方程曲线y=e^(82x+148y)图像画法

    本经验通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性等，介绍函数y=e^(82x+148y)的图像的主要步骤。

方法/步骤

1、※.方程曲线的定义域

方程曲线表达式为y=e^(82x+148y),即y>0,取对数有：

lny=82x+148y，则：82x=lny-148y.

设82x=F(y)=lny-148y,把y看成自变量，求导得：

F'(y)=(1/y)-148=(1-148y)/y.

令F'(y)=0，则y=1/148≈0.007.

1)当0<y0;

2)当y>1/148时，F'(y)<0。

所以，当y=1/148时，F(y)有最大值，即：

82x≤F(y)max=-(1+ln148)

x≤-(1+ln148)/82≈-0.073.

即方程曲线的定义域为：(-∞，-0.073]。

2、※.方程曲线的单调性

对方程两边同时对x求导，得：

y=e^(82x+148y)

y’=e^(82x+148y)(82+148y＇)

y’=82e^(82x+148y)/[1-148e^(82x+148y)]

即：y’=82y/(1-148y).

导数y’的符号与(1-148y)的符号一致，方程曲线的单调性为：

(1).当y∈(0,1/148]时，y’＞0，此时方程y随x的增大而增大；

(2).当y∈(1/148,+∞）时，y’＜0，此时方程y随x的增大而减小。

3、※.方程曲线的凸凹性

∵y’=-82y/(148y-1)，

∴y”=-82[y'(148y-1)-148yy’]/(148y-1)²

=-82y’/(148y-1)²

=82²y/(1-148y)³，则y”的符号与(1-148y)的符号一致。

方程曲线的凸凹区间为：

(1)当y∈(0,1/148]时，y”＞0，此时方程曲线y为凹曲线;

(2)当y∈(1/148,+∞）时，y”＜0，此时方程曲线y为凸曲线。

4、列举函数五点图：函数上部分点解析如下表所示，横坐标和纵坐标，函数上部分点解析如下表所示，横坐标和纵坐标。

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