函数y=√x(66x+18/x)的图像

本文主要介绍根式分式复合函数的定义域、值域、单调和凸凹性等性质，并通过导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间，画出y=√x(66x+18/x)的图像。

方法/步骤

1、※.函数的定义域

∵√x有x≥0；对18/x有x≠0.∴函数的定义域为：(0，+∞）。

2、设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A–B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。

3、※.函数的单调性

∵y=√x(66x+18/x)

=66x^(3/2)+18x^(-1/2),对x求导得：

∴dy/dx

=(3/2)*66x^(1/2)-(18/2)x^(-3/2)

=(1/2)x^(-3/2)(3*66x²-18).

令dy/dx=0,则x²=1/11.

又因为x>0，则x=(1/11)√11≈0.30.

(1)当x∈(0, (1/11)√11)时，dy/dx＜0,函数y为单调减函数；

(2)当x∈[(1/11)√11,+∞)时，dy/dx＞0,函数y为单调增函数。

4、 如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

5、※.函数的凸凹性

∵dy/dx=(1/2)x^(-3/2)(3*66x²-18)，

∴d^2y/dx^2

=-3/4*x^(-5/2)(3*66x²-18)+3*66x*x^(-3/2)

=-3/4*x^(-5/2)(3*66x²-18)+3*66x^(-1/2)

=-3/4x^(-5/2)(3*66x²-18-4*66x²)

=3/4x^(-5/2)(66x²+18)>0,则：

函数y在定义域上为凹函数。

6、  二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f(x)的导数y’=f'(x)仍然是x的函数，则y’=f'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数。

7、※.函数的极限

Lim(x→0) √x(66x+18/x)=+∞

Lim(x→+∞) √x(66x+18/x)=+∞。

8、综合以上函数的性质，函数的示意图如下：

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