已知2a+22b=9,求ab的最大值方法

      本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。

方法/步骤

1、介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。

2、主要公式：

1.(sina)^2+(cosa)^2=1。

2.ab≤(a+b)^2/2。

3、根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(9/22-1/11*a)

=-1/11*a^2+9/22*a

=-1/11(a-9/4)^2+81/176，

则当a=9/4时，ab有最大值为81/176。

4、设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

2a+22b=9,

2a+22p/a=9,

2a^2-9a+22p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-176p≥0,即：

p≤81/176,

此时得ab=p的最大值=81/176。

5、将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由2a+22b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设2a=9(cost)^2，22b=9(sint)^2，则：

a=(cost)^2,b=9/22(sint)^2,代入得：

ab=(cost)^2*9/22(sint)^2,

=81/176*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=81/176。

6、设2a=9/2+t,22b=9/2-t，则：

a=(1/2)(9/2+t),b=(1/22)(9/2-t)

此时有：

ab=1/44*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/44*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤81/176,

则ab的最大值为81/176。

7、当a，b均为正数时，则：

∵2a+22b≥2√44*ab,

∴(2a+22b)^2≥176*ab,

81≥176*ab,

即：ab≤81/176,

则ab的最大值为81/176。

8、数形几何法计算ab的最大值。

9、设函数f(a,b)=ab-λ(2a+22b-9),

则偏导数f’a=b-2λ,f’b=a-22λ,

f’λ=2a+22b-9。

令f’a=f’b=f’λ=0，则：

b=2λ,a=22λ。进一步代入得：

44λ+44λ=9,即λ=9/88.

则有a=9/4,b=9/44.

ab的最大值=9/4*9/44=81/176。

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