高中数学二次项定理应用习题举例详解C19

本经验主要通过4道例题，详细介绍二次项展开式定理的运用计算步骤。

方法/步骤

1、※.在(2-3x)^6*(10+31x)展开式中，x^2的系数是多少？

解：对(2-3x)^6来说，展开通项有：

Tᵣ=C(6,r)* 2^(6-r)*(-3x)^r

=C(6,r)* 2^(6-r)*(-3)^r* x^r

题意要求x^2的系数，考虑到10+31x有常数项和x的一次项，所以系数是两个系数的和，分别为r=2和r=1，则：

T=T₁+T₂

=10*C(6,2)*2^(6-2)*(-3)^2+31*C(6,1)*2^(6-1)*(-3)^1

=10*2160-31*576=21600-17856=3744.

2、※.求二项展开式(2x+3)⁵中偶数项的系数和。

解：根据题意，设：

(2x+3)⁵=a₀x⁵+a₁x⁴+a₂x³+a₃x²+a₄x+a₅,

偶数项的系数是a₁，a₃，a₅，

分别令x=1和x=-1，有：

(2+3)⁵=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅,

(2-3)⁵=-a₀+a₁-a₂+a₃-a₄+a₅,

两式子相加有：

2(a₁+a₃+a₅)=(2+3)⁵+(2-3)⁵,即：

2(a₁+a₃+a₅)=3125-1,

2(a₁+a₃+a₅)=3124,所以：a₁+a₃+a₅=1562。

3、※.已知[a/36x-√(x/2)]^9的展开式中x^3的系数为3/2，求常数a的值。

解：展开式通式Tᵣ =C(9,r)*(a/36x)^(9-r)*[-√(x/2)]^r,

=C(9,r)*a^(9-r)*(36x)^(r-9)*(-1)^r*(x/2)^(r/2),

=C(9,r)*(-1)^r*a^(9-r)*36^(r-9)*(1/2)^(r/2)*x^(3r/2-9),

=C(9,r)*(-1)^r*(a/36)^(9-r)* (1/2)^(r/2) *x^(3r/2-9),

4、※.若(x^2+2/x^4)^n的展开式各系数的和为729，则n和展开式的常数项分别是多少？

解：求n时使用特殊值法计算，取x=1时，有：

(1+2)^n=729,

即可求出n=6.

本题展开式通式为：

Tᵣ=C(6,r)*(x^2)^(6-r)*(2/x^4)^r

=C(6,r)*1^(6-r)*x^(2*6-2r)*2^r *x^(-4r)

=C(6,r)*1^(6-r)*2^r*x^(2*6-2r-4r)

因为求常数，所以：2*6-2r-4r=0，

即r=2，则此时的系数为：

Tᵣ=C(6,r)*1^(6-r)*2^r

=C(6, 2)*1^(6-2)*2^r=15*1*4=60.

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