七道数学极限练习题及计算过程A5

     本经验以极限分子分母根据所求极限条件，以及使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e和三角函数公式，介绍7种不同情形下函数极限的计算过程。

主要方法与步骤

1、1.计算lim(n→∞)(23n²-24)/(29n⁴+17n-12)

解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：

lim(n→∞)(23n²-24)/(29n⁴+17n-12)

=lim(n→∞)(23/n-24/n⁴)/(29+17/n³-12/n⁴),

=0。

2、2.计算lim(n→∞)(45n-34n-16)/(28+15n-38n²)

解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：

lim(n→∞)(45n²-34n-16)/(28+15n-38n²)

=lim(n→∞)(45-34/n-16/n²)/(28/n+15/n-38),

=(45-0)/(0-38),

=-45/38。

   思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：

lim(n→∞)( 45n²-34n-16)/(28+15n-38n²)

=lim(n→∞)(90n-34)/(15-76n)，继续使用罗必塔法则，

=lim(n→∞)(90-0)/(0-76)，

=-45/38。

3、3.求极限lim(x→1)(x³-24x+23)/(x⁴-33x+32)

解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：

lim(x→1)(x³-24x+23)/(x⁴-33x+32)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-23)/[(x-1)(x³+x²+x-32)],

=lim(x→1)(x²+x-23)/(x³+x²+x-32),

=(1+1-23)/(1+1+1-32),

=21/29。

4、4.求lim(x→0)(16x+14sin10x)/(29x-43sin6x)

解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：

lim(x→0)(16x+14sin10x)/(29x-43sin6x)，

=lim(x→0)(16+14sin10x/x)/(29-43sin6x/x)，

=lim(x→0)(16+140sin10x/10x)/(29-258sin6x/6x)，

=(16+140)/(29-258)，

=-156/229。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(16x+14sin10x)/(29x-43sin6x)，

=lim(x→0)(16+14*10cos10x)/(29-43*6cos6x)，

=(16+14*10)/(29-43*6)，

=-156/229。

5、5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(3x+2)。

解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(3x+2)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(3x+2)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[3+(2/x)],

=1/{lim(x→∞)[3+(2/x)]},

=1/3。

6、6.求lim(x→0)(sin37x-sin69x)/sin16x.

解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：

lim(x→0)(sin37x-sin69x)/sin16x

=lim(x→0)2cos53xsin(-16x)/sin16x,

=lim(x→0) -2cos53x,

=-2cos0=-2。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(sin37x-sin69x)/sin16x,

=lim(x→0)(37cos37x-sin69cos69x)/(16cos16x)，

=lim(x→0)(37-69)/16，

=-2。

7、7.求lim(x→0)(1+2x)^(8/x)。

解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：

lim(x→0)(1+2x)^(8/x),

=lim(x→0){[(1+2x)^(1/2x)]}^(8*2),

=e^(8*2),

=e^16。

本文来自于百度作者：吉禄学阁，仅代表原作者个人观点。本站旨在传播优质文章，无商业用途。如不想在本站展示可联系删除