高中数学二次项定理应用习题举例详解C3

本经验主要通过4道例题，详细介绍二次项展开式定理的运用计算步骤。

方法/步骤

1、※.已知[a/36x-√(x/3)]^9的展开式中x^3的系数为3/2，求常数a的值。

解：展开式通式Tᵣ =C(9,r)*(a/36x)^(9-r)*[-√(x/3)]^r,

=C(9,r)*a^(9-r)*(36x)^(r-9)*(-1)^r*(x/3)^(r/2),

=C(9,r)*(-1)^r*a^(9-r)*36^(r-9)*(1/3)^(r/2)*x^(3r/2-9),

=C(9,r)*(-1)^r*(a/36)^(9-r)* (1/3)^(r/2) *x^(3r/2-9),

根据题意有：

3r/2-9=3,求出r=8，代入有：

9-r=9-8=1,

C(9,r)=C(9,8)=9，

(-1)^r=(-1)^8=1，

(1/3)^(r/2)= (1/3)^4

根据系数关系有：

9*a/36*(1/3)^4=3/2,

即：a=3/2*3^4*36/9,所以a=486.

2、※.若(x^3+1/x^2)^n的展开式各系数的和为32，则n和展开式的常数项分别是多少？

解：求n时使用特殊值法计算，取x=1时，有：

(1+1)^n=32,

即可求出n=5.

本题展开式通式为：

Tᵣ=C(5,r)*(x^3)^(5-r)*(1/x^2)^r

=C(5,r)*1^(5-r)*x^(3*5-3r)*1^r *x^(-2r)

=C(5,r)*1^(5-r)*1^r*x^(3*5-3r-2r)

因为求常数，所以：3*5-3r-2r=0，

即r=3，则此时的系数为：

Tᵣ=C(5,r)*1^(5-r)*1^r

=C(5, 3)*1^(5-3)*1^r=10*1*1=10.

3、 

※.求二项展开式(2x+4)⁵中偶数项的系数和。

解：根据题意，设：

(2x+4)⁵=a₀x⁵+a₁x⁴+a₂x³+a₃x²+a₄x+a₅,

偶数项的系数是a₁，a₃，a₅，

分别令x=1和x=-1，有：

(2+4)⁵=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅,

(2-4)⁵=-a₀+a₁-a₂+a₃-a₄+a₅,

两式子相加有：

2(a₁+a₃+a₅)=(2+4)⁵+(2-4)⁵,即：

2(a₁+a₃+a₅)=7776-32,

2(a₁+a₃+a₅)=7744,所以：a₁+a₃+a₅=3872。

4、※.在(3-4x)^5*(46+55x)展开式中，x^3的系数是多少？

解：对(3-4x)^5来说，展开通项有：

Tᵣ=C(5,r)* 3^(5-r)*(-4x)^r

=C(5,r)* 3^(5-r)*(-4)^r* x^r

题意要求x^3的系数，考虑到46+55x有常数项和x的一次项，所以系数是两个系数的和，分别为r=3和r=2，则：

T=T₁+T₂

=46*C(5,3)*3^(5-3)*(-4)^3+55*C(5,2)*3^(5-2)*(-4)^2

=46*-5760+55*4320=-264960+237600=-27360.

本文来自于百度作者：吉禄学阁，仅代表原作者个人观点。本站旨在传播优质文章，无商业用途。如不想在本站展示可联系删除