高中数学二次项定理应用习题举例详解C1

本经验主要通过4道例题，详细介绍二次项展开式定理的运用计算步骤。

方法/步骤

1、已知[a/36x-√(x/2)]^9的展开式中x^3的系数为5/4，求常数a的值。

2、求二项展开式(4x+3)⁵中偶数项的系数和。

(4x+3)⁵=a₀x⁵+a₁x⁴+a₂x³+a₃x²+a₄x+a₅,

偶数项的系数是a₁，a₃，a₅，

分别令x=1和x=-1，有：

(4+3)⁵=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅哄狠,

(4-3)⁵=-a₀+a₁-a₂+a₃-a₄+a₅,

两式子相加有：

2(a₁+a₃+a₅)=(4+3)⁵+(4-3)⁵,即：

2(a₁+a₃+a₅)=16807+1,

2(a₁+a₃+a₅)=16808,所以：a₁+a₃+a₅=8404。

3、若(2x^4+2/x^1)^n的展开式各系数的和为1024，则n和展开式的常数项分别是多少？

解：求n时使用特殊值法计算，取x=1时，有：

(2+2)^n=1024,

即可求出n=5.

本题展开式通式为：

Tᵣ=C(5,r)*(2x^4)^(5-r)*(2/x^1)^r

=C(5,r)*2^(5-r)*x^(4*5-4r)*2^r *x^(-r)

=C(5,r)*2^(5-r)*2^r*x^(4*5-4r-r)

因为求常数，所以：4*5-4r-r=0，

即r=4，则此时的系数为：

Tᵣ=C(5,r)*2^(5-r)*2^r

=C(5, 4)*2^(5-4)*2^r=5*2*16=160.

4、 在(3-3x)^6*(3+23x)展开式中，x^3的系数是多敏彩少？

解：对(3-3x)^6来说，展开通项喝言爬有：

Tᵣ=C(6,r)* 3^(6-r)*(-3x)^r

=C(6,r)* 3^(6-r)*(-3)^r* x^r

题意要求x^3的系数，考虑到3+23x有常数项和x的一次项，所以系数是两个系数的和，分别为r=3和r=2，则：

T=T₁+T₂

=3*C(6,3)*3^(6-3)*(-3)^3+23*C(6,2)*3^(6-2)*(-3)^2

=-3*14580+23*10935=-43740+251505=207765.

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