函数y=√x(40x+43.x)的图像示意图如何?

本文主要介绍根式分式复合函数的定义域、值域、单调和凸凹性等性质，并通过导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间，画出y=√x(40x+43/x)的图像。

方法/步骤

1、※.函数的定义域

∵√x有x≥0；对43/x有x≠0.∴函数的定义域为：(0，+∞）。

2、定义域是指该函数的有效范围，函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。

3、※.函数的单调性

∵y=√x(40x+43/x)

=40x^(3/2)+43x^(-1/2),对x求导得：

∴dy/dx

=(3/2)*40x^(1/2)-(43/2)x^(-3/2)

=(1/2)x^(-3/2)(3*40x²-43).

令dy/dx=0,则x²=43/120.

又因为x>0，则x=(1/60)√1290≈0.60.

(1)当x∈(0, (1/60)√1290)时，dy/dx＜0,函数y为单调减函数；

(2)当x∈[(1/60)√1290,+∞)时，dy/dx＞0,函数y为单调增函数。

4、如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

5、※.函数的凸凹性

∵dy/dx=(1/2)x^(-3/2)(3*40x²-43)，

∴d^2y/dx^2

=-3/4*x^(-5/2)(3*40x²-43)+3*40x*x^(-3/2)

=-3/4*x^(-5/2)(3*40x²-43)+3*40x^(-1/2)

=-3/4x^(-5/2)(3*40x²-43-4*40x²)

=3/4x^(-5/2)(40x²+43)>0,则：

函数y在定义域上为凹函数。

6、  二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f(x)的导数y’=f'(x)仍然是x的函数，则y’=f'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数。

7、※.函数的极限

Lim(x→0) √x(40x+43/x)=+∞

Lim(x→+∞) √x(40x+43/x)=+∞。

8、综合以上函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，函数的示意图如下：

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