函数 y=ln[(92+x)/(123-x)]的单调和凸凹区间

      在函数的定义域要求的前提下，通过计算函数的一阶导数和二阶导数，得函数的驻点和拐点，进而求解函数y的单调性和凸凹性。

方法/步骤

1、步骤一：求解定义域

∵(92+x)/(123-x)>0

∴(x+92)(x-123)<0,则：

-92<x<123,即函数的定义域为：

(-92,123)。

2、步骤二：求解单调区间

∵y=ln[(92+x)/(123-x)]

∴dy/dx

=[(123-x)/(92+x)]*[(123-x)-(92+x)*(-1)]/(123-x)²

=215/[(x+92)(123-x)]。

结合定义域，可知dy/dx>0，

即函数在定义域上为单调增函数，则函数的增区间为：

(-92,123)。

3、   如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

4、步骤三：求函数的凸凹性区间

∵dy/dx=215/[(x+92)(123-x)],

∴d²y/d²x

=-215*[(123-x)+(x+92)*(-1)]/[(x+92)(123-x)]²

=215(2x-31)/[(x+92)(123-x)]²。

5、令d²y/d²x=0,则：

2x-31=0，得x=31/2。

（1）.当x∈[31/2,123)时，d²y/d²x>0,

则函数为凹函数，该区间为凹区间。

（2）.当x∈(-92,31/2)时，d²y/d²x<0,

则函数为凸函数，该区间为凸区间。

6、如果一个函数f(x)在某个区间I上有f”(x)(即二阶导数)>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图像上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图像都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

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