z=f(23xy,x^2+y^2,3x^3)求z对x,y所有二阶偏导数

主要内容：

本文通过全微分、链式求导法等方法，介绍计算抽象函数z= f(23xy,x^2+y^2,3x^3)的所有二阶偏导数的具体步骤。

方法/步骤

1、 一阶偏导数计算：

z=f(23xy,x^2+y^2,3x^3)，用全微分求导法，则有：

dz=23f1′(ydx+xdy)+f2′(2xdx+2ydy)+9x^2f3’dx，即：

dz=23yf1’dx+23xf1’dy+2xf2’dx+2yf2’dy+9x^2f3’dx，

dz=(23yf1’+2xf2’+9x^2f3′)dx+(23xf1’+2yf2′)dy。

则z对x的一阶偏导数为：

=23yf1’+2xf2’+9x^2f3′;

同理，z对y的一阶偏导数为：

=23xf1’+2yf2’。

2、二阶偏导数求解：

因为=23yf1’+2xf2’+9x^2f3’，再次对x求导，

所以

=23y(f11”*23y+f12”*2x+9x^2f13”)+2f2’+2x(f21”23y+f22”*2x+9x^2f23”)+18xf3’+9x^2(f31”23y+f32”*2x+9x^2f33”),

=529y^2f11”+92xyf12”+207yx^2f13”+2f2’+4x^2f22”+18x^3f23”+18xf3’+207yx^2f31”+18x^3f32”+81x^4f33”,

=529y^2f11”+92xyf12”+18yx^2f13”+2f2’+4x^2f22”+36x^3f23”+18xf3’+81x^4f33”

3、因为=23xf1’+2yf2’，再次对y求导，

所以

=23x(f11”*23x+f12”*2y+f13”*0)+2f2’+2y(f21”*23x+f22”*2y+f23”*0)

=529x^2f11”+46xyf12”+2f2’+46xyf12”+4y^2f22”,

=529x^2f11”+92xyf12”+2f2’+4y^2f22”.

4、因为=23xf1’+2yf2’，再次对x求导，

所以

=23f1’+23x(f11”*23y+f12”*2x+9x^2f13”)+2y(f21”*23y+f22”*2x+9x^2f23”)

=23f1’+529xyf11”+46x^2f12”+207x^3f13”+46y^2f12”+4xyf22”+18yx^2f23”,

=23f1’+529xyf11”+46(1x^2+y^2)f12”+207x^3f13”+4xyf22”+18yx^2f23”。

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