隐函数14x²+81y²+26z²=4的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数14x²+81y²+26z²=4的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵14x²+81y²+26z²=4,

∴28xdx+162ydy+52zdz=0，即：

26zdz=-14xdx-81ydy,

dz=-7xdx/13z-81ydy/26z，所以：

dz/dx=-7x/13z，dz/dy=-81y/26z。

2、直接求导法：

14x²+81y²+26z²=4,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

28x+0+52zdz/dx=0

26zdz/dx=-14x，即：dz/dx=-7x/13z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+162y+52zdz/dy=0

26zdz/dy=-81y，即：dz/dy=-81y/26z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=14x²+81y²+26z²-4，则：

Fz=52z，Fx=28x，Fy=162y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-28x/52z=-7x/13z;

dz/dy=-Fy/Fz=-162y/52z=-81y/26z.

4、二阶偏导数求法：

(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-7x/13z，

∴∂²z/∂²x=-7/13*(z+xdz/dx)/z²

=-7/13*(z+7x²/13z)/z²

=-7/169*(13z²+7x²)/z³.

5、 

(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-81y/26z.

∴∂²z/∂²y=-81/26*(z+ydz/dy)/z²

=-81/26*(z+81y²/26z)/z²

=-81/676*(26z²+81y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-7x/13z，dz/dy=-81y/26z.

∴∂²z/∂x∂y =7/13*(xdz/dy)/z²

=7/13*(-81xy/26z)/z²

=-567/338*xy/z³.

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