隐函数30x²+32y²+46z²=55的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数30x²+32y²+46z²=55的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵30x²+32y²+46z²=55,

∴60xdx+64ydy+92zdz=0，即：

46zdz=-30xdx-32ydy,

dz=-15xdx/23z-16ydy/23z，所以：

dz/dx=-15x/23z，dz/dy=-16y/23z。

2、直接求导法：

30x²+32y²+46z²=55,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

60x+0+92zdz/dx=0

46zdz/dx=-30x，即：dz/dx=-15x/23z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+64y+92zdz/dy=0

46zdz/dy=-32y，即：dz/dy=-16y/23z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=30x²+32y²+46z²-55，则：

Fz=92z，Fx=60x，Fy=64y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-60x/92z=-15x/23z;

dz/dy=-Fy/Fz=-64y/92z=-16y/23z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-15x/23z，

∴∂²z/∂²x=-15/23*(z+xdz/dx)/z²

=-15/23*(z+15x²/23z)/z²

=-15/529*(23z²+15x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-16y/23z.

∴∂²z/∂²y=-16/23*(z+ydz/dy)/z²

=-16/23*(z+16y²/23z)/z²

=-16/529*(23z²+16y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-15x/23z，dz/dy=-16y/23z.

∴∂²z/∂x∂y =15/23*(xdz/dy)/z²

=15/23*(-16xy/23z)/z²

=-240/529*xy/z³.

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