隐函数28x²+35y²+34z²=40的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数28x²+35y²+34z²=40的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵28x²+35y²+34z²=40,

∴56xdx+70ydy+68zdz=0，即：

34zdz=-28xdx-35ydy,

dz=-14xdx/17z-35ydy/34z，所以：

dz/dx=-14x/17z，dz/dy=-35y/34z。

2、直接求导法：

28x²+35y²+34z²=40,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

56x+0+68zdz/dx=0

34zdz/dx=-28x，即：dz/dx=-14x/17z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+70y+68zdz/dy=0

34zdz/dy=-35y，即：dz/dy=-35y/34z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=28x²+35y²+34z²-40，则：

Fz=68z，Fx=56x，Fy=70y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-56x/68z=-14x/17z;

dz/dy=-Fy/Fz=-70y/68z=-35y/34z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-14x/17z，

∴∂²z/∂²x=-14/17*(z+xdz/dx)/z²

=-14/17*(z+14x²/17z)/z²

=-14/289*(17z²+14x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-35y/34z.

∴∂²z/∂²y=-35/34*(z+ydz/dy)/z²

=-35/34*(z+35y²/34z)/z²

=-35/1156*(34z²+35y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-14x/17z，dz/dy=-35y/34z.

∴∂²z/∂x∂y =14/17*(xdz/dy)/z²

=14/17*(-35xy/34z)/z²

=-245/289*xy/z³.

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