隐函数9x²+84y²+31z²=4的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数9x²+84y²+31z²=4的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵9x²+84y²+31z²=4,

∴18xdx+168ydy+62zdz=0，即：

31zdz=-9xdx-84ydy,

dz=-9xdx/31z-84ydy/31z，所以：

dz/dx=-9x/31z，dz/dy=-84y/31z。

2、直接求导法：

9x²+84y²+31z²=4,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

18x+0+62zdz/dx=0

31zdz/dx=-9x，即：dz/dx=-9x/31z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+168y+62zdz/dy=0

31zdz/dy=-84y，即：dz/dy=-84y/31z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=9x²+84y²+31z²-4，则：

Fz=62z，Fx=18x，Fy=168y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-18x/62z=-9x/31z;

dz/dy=-Fy/Fz=-168y/62z=-84y/31z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-9x/31z，

∴∂²z/∂²x=-9/31*(z+xdz/dx)/z²

=-9/31*(z+9x²/31z)/z²

=-9/961*(31z²+9x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-84y/31z.

∴∂²z/∂²y=-84/31*(z+ydz/dy)/z²

=-84/31*(z+84y²/31z)/z²

=-84/961*(31z²+84y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-9x/31z，dz/dy=-84y/31z.

∴∂²z/∂x∂y =9/31*(xdz/dy)/z²

=9/31*(-84xy/31z)/z²

=-756/961*xy/z³.

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