隐函数67x²+72y²+41z²=21的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数67x²+72y²+41z²=21的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵67x²+72y²+41z²=21,

∴134xdx+144ydy+82zdz=0，即：

41zdz=-67xdx-72ydy,

dz=-67xdx/41z-72ydy/41z，所以：

dz/dx=-67x/41z，dz/dy=-72y/41z。

2、直接求导法：

67x²+72y²+41z²=21,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

134x+0+82zdz/dx=0

41zdz/dx=-67x，即：dz/dx=-67x/41z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+144y+82zdz/dy=0

41zdz/dy=-72y，即：dz/dy=-72y/41z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=67x²+72y²+41z²-21，则：

Fz=82z，Fx=134x，Fy=144y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-134x/82z=-67x/41z;

dz/dy=-Fy/Fz=-144y/82z=-72y/41z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-67x/41z，

∴∂²z/∂²x=-67/41*(z+xdz/dx)/z²

=-67/41*(z+67x²/41z)/z²

=-67/1681*(41z²+67x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-72y/41z.

∴∂²z/∂²y=-72/41*(z+ydz/dy)/z²

=-72/41*(z+72y²/41z)/z²

=-72/1681*(41z²+72y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-67x/41z，dz/dy=-72y/41z.

∴∂²z/∂x∂y =67/41*(xdz/dy)/z²

=67/41*(-72xy/41z)/z²

=-4824/1681*xy/z³.

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