已知x^2+y^2=8,求(x-y)^2最大值步骤

已知x2+y2=8,介绍通过等式变换、三角换元、判别式法、中值替换等方法求(x-y)2的最大值的步骤。

方法/步骤

1、思路一：等式变换

因为(x-y)2=x2+y2-2xy

又：(x+y)2=x2+y2+2xy

所以两式相加得：

(x-y)2+(x+y)2=2(x2+y2),

等式变换得：

(x-y)2=2(x2+y2)-(x+y)2

即：(x-y)2=16-(x+y)2≤16,

则(x-y)2的最大值=16。

2、 

思路二：三角换元法

设x=2√2sint,y=2√2cost，则：

(x-y)2

=x2-2xy+y2

=(2√2sint)2+(2√2cost)2-2*2√2sint*2√2cost

=8-8sin2t

=8(1-sin2t)

即：

(x-y)2的最大值=8*[1-(-1)]=16。

3、思路三：判别式法

设x-y=t，则y=x-t,代入已知条件得：

x2+(x-t)2=8

x2+x2-2xt+t2-8=0

2×2-2xt+t2-8=0,

把方程看成x的二次方程，则：

判别式△=4t2-8(t2-8)≥0，即：

t2≤16，

故(x-y)2=t2的最大值=16。

4、思路四：中值替换法

设x2=4+t,y2=4-t,

代入所求代数式得：

(x-y)2的最大值

=x2-2xy+y2,当xy乘积为负数时，有最大值。

=4+t+2√[(4+t)(4-t)]+4-t

=8+2√[(16-t2)]

≥8+8=16。

5、思路五：不等式法

因为(x-y)2=x2-2xy+y2

=8-2xy.

当x，y异号时xy最小，则(x-y)2有最大值。

又因为:

x2+y2

=8≥2xy,

则2xy的最小值=-8。

所以(x-y)2的最大值=8-(-8)=16。

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