函数21x^2+48y^2+50z^2=36的导数计算

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数21x^2+48y^2+50z^2=36的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵21x²+48y²+50z²=36,

∴42xdx+96ydy+100zdz=0，即：

50zdz=-21xdx-48ydy,

dz=-21xdx/50z-24ydy/25z，所以：

dz/dx=-21x/50z，dz/dy=-24y/25z。

2、直接求导法：

21x²+48y²+50z²=36,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

42x+0+100zdz/dx=0

50zdz/dx=-21x，即：dz/dx=-21x/50z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+96y+100zdz/dy=0

50zdz/dy=-48y，即：dz/dy=-24y/25z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=21x²+48y²+50z²-36，则：

Fz=100z，Fx=42x，Fy=96y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-42x/100z=-21x/50z;

dz/dy=-Fy/Fz=-96y/100z=-24y/25z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-21x/50z，

∴∂²z/∂²x=-21/50*(z+xdz/dx)/z²

=-21/50*(z+21x²/50z)/z²

=-21/2500*(50z²+21x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-24y/25z.

∴∂²z/∂²y=-24/25*(z+ydz/dy)/z²

=-24/25*(z+24y²/25z)/z²

=-24/625*(25z²+24y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-21x/50z，dz/dy=-24y/25z.

∴∂²z/∂x∂y =21/50*(xdz/dy)/z²

=21/50*(-24xy/25z)/z²

=-252/625*xy/z³.

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