隐函数48x²+80y²+41z²=26的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数48x²+80y²+41z²=26的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵48x²+80y²+41z²=26,

∴96xdx+160ydy+82zdz=0，即：

41zdz=-48xdx-80ydy,

dz=-48xdx/41z-80ydy/41z，所以：

dz/dx=-48x/41z，dz/dy=-80y/41z。

2、直接求导法：

48x²+80y²+41z²=26,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

96x+0+82zdz/dx=0

41zdz/dx=-48x，即：dz/dx=-48x/41z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+160y+82zdz/dy=0

41zdz/dy=-80y，即：dz/dy=-80y/41z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=48x²+80y²+41z²-26，则：

Fz=82z，Fx=96x，Fy=160y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-96x/82z=-48x/41z;

dz/dy=-Fy/Fz=-160y/82z=-80y/41z.

4、二阶偏导数求法：

(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-48x/41z，

∴∂²z/∂²x=-48/41*(z+xdz/dx)/z²

=-48/41*(z+48x²/41z)/z²

=-48/1681*(41z²+48x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-80y/41z.

∴∂²z/∂²y=-80/41*(z+ydz/dy)/z²

=-80/41*(z+80y²/41z)/z²

=-80/1681*(41z²+80y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-48x/41z，dz/dy=-80y/41z.

∴∂²z/∂x∂y =48/41*(xdz/dy)/z²

=48/41*(-80xy/41z)/z²

=-3840/1681*xy/z³.

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